Zbiory przyciągania pierwiastków równania $z^k = 1$

Równanie: $z^{12} = 1$
$ii = 40$
$\delta = 0,01$
$-6 \le x,y \le 6$

Rozpatrywane zbiory nie są fraktalami. Równanie $z^k = 1$ wyznacza podział płaszczyzny na $k$ podzbiorów $P_1,…P_k$ będących zbiorami przyciągania pierwiastków tego równania (część punktów płaszczyzny nie należy do żadnego ze zbiorów $P_i$).

Rozwiązaniami równania $z^k = 1$ są liczby zespolone $w_j = e^{\frac{j}{k}2\pi \cdot i},\,\,j = 0,…,k - 1$. Liczby te są wierzchołkami $k$-kąta foremnego wpisanego w okrąg jednostkowy, jednym z pierwiastków jest liczba $1$.

Równanie $z^k = 1$ można rozwiązywać metodą Newtona: wybieramy liczbę zespoloną $z_0$ i tworzymy ciąg iteracyjny $(z_n)$. Jeśli otrzymany ciag jest zbieżny do liczby $w_j$, to liczba $z_0$ należy do zbioru $P_j$ będącego zbiorem przyciagania (basenem) pierwiastka $w_j$.

Do rysowania zbiorów przyciągania stosowany jest następujący algorytm:

ustalamy liczbę naturalna $ii$ (= liczba iteracji)
ustalamy liczbę dodatnią $\delta$
obliczamy kolejne wyrazy ciągu $(z_n)$, nie więcej niż $ii$
jeśli dla pewnego $n$ $|z_{n+1} - z_n| \lt \delta$ oraz dla pewnego $1 \le j \lt k\,\, |z_{n+1} - w_j| \lt \delta$, to podejmujemy decyzję, że liczba $z_0$ należy do zbioru przyciagania $P_j$

Punkty, które nie należą do żadnego ze zbiorów $P_j$ rysowane są kolorem czarnym. Można udowodnić (wniosek 1), że jeśli liczba $k$ jest parzysta, to liczby leżące na półprostych wychodzących z początku układu i położonych dokładnie pośrodku między pierwiastkami równania $z_k = 1$ nie należą do żadnego ze zbiorów $P_j$.

Plik Newton.zip zawiera program rysujący baseny przyciagania dla równania $z^k = 1$.

Plik NewtonOnePoint.zip zawiera program badający zachowanie pojedyńczych ciągów.

Zasady kolorowania

Ustalamy dwa kolory $\text{kol}_0$ i $\text{kol}_1$. Domyślnie są to kolory:

#fe3300
#ffff33(#ffff33)

Punkt nie należący do żadnego zbioru przyciągania jest czarny. Pozostałe punkty kolorujemy tak:

Pierwiastek	Wzór na kolor
$e^{\frac{0}{k}2\pi\cdot i} = 1$	$\text{kol}_0$
$e^{\frac{1}{k}2\pi\cdot i}$	$\frac{k - 2}{k - 1}\cdot \text{kol}_0 + \frac{1}{k - 1}\cdot \text{kol}_1$
$e^{\frac{2}{k}2\pi\cdot i}$	$\frac{k - 3}{k - 1}\cdot \text{kol}_0 + \frac{2}{k - 1}\cdot \text{kol}_1$
…	…
$e^{\frac{k-1}{k}2\pi\cdot i}$	$\frac{0}{k - 1}\cdot \text{kol}_0 + \frac{k - 1}{k - 1}\cdot \text{kol}_1 = \text{kol}_1$

Przydatne pojęcia matematyczne

Metoda Newtona rozwiązywania równania $f(z) = 0$

Załóżmy, że funkcja $f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ ma ciągłą pochodną): Wybieramy dowolną liczbę zespoloną $z_0$. Definiujemy rekurencyjnie ciąg liczb zespolonych: (1) $z_{n+1} = z_n - \frac{f(z_n)}{f'(z_n)}$.

Pochodzenie wzoru (1): Niech $g$ będzie funkcją afiniczną (tzn. $g(z) = az + b$) najlepiej przybliżającą funkcję $f$ w pobliżu punktu $z_n$. Z definicji pochodnej łatwo wynika, że $g(z) = f'(z_n)z + f(z_n) - f'(z_n)z_n\,\,(g(z_n) = f(z_n)$ oraz $g'(z_n) = f'(z_n))$. Punkt $z_{n+1}$ otrzymujemy rozwiązując równanie $g(z) = 0$ zamiast równania $f(z) = 0$.
Jeśli w metodzie Newtona uzyskamy ciąg nieskończony (tzn. $\forall n \in \mathbb{N}\,\,f'(z_n) \ne 0$) oraz zbieżny do $z^*$, to $z^*$ jest (stwierdzenie 1) jednym z pierwiastków równania $f(z) = 0$.
Ciąg uzyskany w metodzie Newtona może nie być zbieżny. Jest tak np. dla równania (stwierdzenie 4) $z^4 = 1$ oraz $z_0 = 1 + i$.

Uruchamianie programów

Programy napisane są w Javie, do ich uruchomienia niezbędne jest zainstalowanie JRE (wersja ≥ 8), JRE można pobrać stąd.
Linki na stronie prowadzą do plików zip. Ściągnięty plik zip należy rozpakować (w dowolnym katalogu), zawiera on plik jar i katalog resources z ikonami i plikiem pomocy.
W systemie Windows program można uruchomić podwójnym kliknięciem w plik jar.
Lista programów:

Sumy kontrolne MD5