Twierdzenia Bézout: Niech $\mathcal{R}$ będzie pierścieniem przemiennym z jedynką (ciało jest pierścieniem przemiennym z jedynką). Element $a \in \mathcal{R}$ jest pierwiastkiem niezerowego wielomianu $\ f(x) \in \mathcal {R}[x]$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki wielomian $g(x)\in \mathcal {R}[x]$, że $f(x)=(x-a)\cdot g(x)$.
Jeśli wielomian nad dowolnym ciałem ma pierwiastek, to jest rozkładalny.
Załóżmy, że $f(x),\,g_1(x),\,g_2(x)\, \in \mathcal {R}[x]$ oraz $f(x) = g_1(x)\cdot g_2(x)$. Jeżeli $st(f) \le 3$, to $st(g_1) = 1\, \lor\, st(g_2) = 1$. Jeżeli $g_1(x) = a\cdot x + b$, to $-\frac{b}{a}$ jest pierwiastkiem wielomianu $g_1(x)$.
Wielomian $w(x) = x^4 + 2x^2 + 1$ nad ciałem $\mathbb{R}$ jest rozkładalny: $w(x) = (x^2 + 1)(x^2 + 1)$ i nie ma pierwiastków w ciele $\mathbb{R}$.