Odwzorowanie logistyczne

Odwzorowanie logistyczne

Odwzorowaniem logistycznym nazywamy funkcję $f_a(x) = a\cdot x\cdot (1-x),\,\, 0 \le a \le 4$. Wybieramy punkt $x_0$ i definiujemy ciąg: $x_{n+1} = f_a(x_n),\,\, n\ge 0$. Okazuje się że zachowanie tego ciągu nie zależy od punktu początkowego $x_0$, zależy natomiast bardzo istotnie od wartości współczynnika $a$.

Jeżeli $a \lt 1$, to otrzymany ciąg jest szybko zbieżny do zera.

Jeżeli $1 \le a \le 3$, to otrzymany ciąg jest zbieżny do $1 - \frac{1}{a}$ (liczba $1 - \frac{1}{a}$ jest pierwiastkiem równania $f_a(x) = x$).

Jeżeli $a \gt 3$, to otrzymujemy ciąg okresowy (okres zależy od $a$) lub całkowicie chaotyczny. Ciąg staje się okresowy po „ustabilizowaniu”, należy zignorować początkowe wyrazy (zazwyczaj wystarczy zignorować około $100$ wyrazów).

Opis programu

Program ilustruje opisane wyżej zachowanie ciągów $(x_n)$, na osi poziomej są wartości współczynnika $a$, na osi pionowej zbiór wartości ciągu.

Rysowanie inicjuje kliknięcie w przycisk Rysowanie lub naciśnięcie Enter gdy kursor znajduje się w jednym z pól tekstowych: Od którego wyrazu, Ile wyrazów.
Kliknięcie w utworzony rysunek tworzy ciąg $(x_n)$ dla wskazanej wartości współczynnika $a$ (znajdującej się na osi pod miejscem kliknięcia), rysuje histogram utworzonego ciągu i wypisuje jego wartości.