Odwzorowanie logistyczne

Definicja

Odwzorowaniem logistycznym nazywamy funkcję $f_a(x) = a\cdot x\cdot (1-x),\,\, 0 \le a \le 4$. Wybieramy punkt $x_0$ i definiujemy ciąg: $x_{n+1} = f_a(x_n),\,\, n\ge 0$. Okazuje się że zachowanie tego ciągu nie zależy od punktu początkowego $x_0$, zależy natomiast bardzo istotnie od wartości współczynnika $a$.

Jeżeli $a \lt 1$, to otrzymany ciąg jest szybko zbieżny do zera.

Jeżeli $1 \le a \le 3$, to otrzymany ciąg jest zbieżny do $1 - \frac{1}{a}$ (liczba $1 - \frac{1}{a}$ jest pierwiastkiem równania $f_a(x) = x$).

Jeżeli $a \gt 3$, to otrzymujemy ciąg okresowy (okres zależy od $a$) lub całkowicie chaotyczny. Ciąg staje się okresowy po „ustabilizowaniu”, należy zignorować początkowe wyrazy (zazwyczaj wystarczy zignorować około $100$ wyrazów).

Opis programu

Dostępne są trzy panele (zakładki), można na nich obejrzeć wykres ciągu, histogram ciągu, graficzne tworzenie ciągu.
Rysowanie inicjuje kliknięcie w jeden z przycisków lub naciśnięcie Enter gdy kursor znajduje się w jednym z pól tekstowych: Pierwszy wyraz, Liczba wyrazów. Kliknięcie w przycisk zmienia również widoczny panel, naciśnięcie klawisza Enter nie zmienia.
Wykres może być rysowany na trzy sposoby:

• tylko punkty wykresu $(n,\, x_n)$ – sposób domyślny
• odcinki od punktów $(n,\, 0)$ do punktów $(n,\, x_n)$
• odcinki od punktu $(n,\, x_n)$ do punktu $(n + 1,\, x_{n + 1})$

Zmiana sposobu rysowania następuję po kliknięciu prawym klawiszem myszy w obszar wykresu.
Jeżeli liczba wyrazów jest większa od $800$, to na rysunku pokazuje tylko część ciągu. Rysunek można przeciągać, przeciągnięcie poza lewy (prawy) brzeg panelu powoduje przesunięcie na początek (na koniec).