Zbiory Julii

Definicja zbioru Julii $J_c$ odwzorowania $f_c(z) = z^2 + c: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$:
Dla każdej liczby zespolonej $z_0$ tworzymy ciąg (orbitę liczby $z_0$): $z_1 = f_c(z_0),\dots,z_{n+1} = f_c(z_n)$. Liczbę $z_0$ nazywamy więźniem odwzorowania $f_c$ ⇔ gdy otrzymany ciąg jest ograniczony. Zbiór więźniów oznaczamy $W_c$, a jego dopełnienie (zbiór uciekinierów) oznaczamy $U_c$.
Zbiór Julli $J_c$ jest brzegiem zbioru więźniów $W_c$. Większość programów (nie wyłączając tego) rysuje – mimo, że deklaruje co innego – zbiór więźniów $W_c$.

Opis algorytmu

Program bada pewną ilość liczb zespolonych $z_0$ (od $-2 - 2\cdot\imath$ do $2 + 2\cdot\imath$), minimalna ilość to $420\times 420$, maksymalna zależy od rozdzielczości monitora i wybranego powiększenia, na moim monitorze przy 10-krotnym powiększeniu maksymalna ilość to $10000\times 10000$.
Dla każdej liczby program wylicza początkowe wyrazy opisanego wyżej ciągu. Domyślnie wylicza 40 wyrazów. Jeśli $n$-ty wyraz ciągu spełnia nierówność $|z_n| \gt max(2,|c|)$, to badanie danej liczby jest przerywane – liczba jest uciekinierem, liczba (punkt płaszczyzny) jest rysowana kolorem zależnym od $n$. W przeciwnym razie liczba (punkt płaszczyzny) rysowana jest na czarno.
Kolorowa część rysunku oznacza zatem punkty należące do zbioru uciekinierów $U_c$, czarna oznacza natomiast punkty należące (zapewne) do zbioru $W_c$.

Kolorowanie zbioru uciekinierów

Sposób kolorowania zależy od użytkownika.

• Czarno-biały - wszyscy są biali
• Lista kolorów - wykorzystywana jest tablica kolorów colors, jeśli $n$-ty wyraz ciągu spełnia nierówność $|z_n| \gt max(2,|c|)$, to z tablicy wybierany jest kolor o indeksie: $\text{reszta z dzielenia}\,\, \frac{n}{\text{colors.length}}$. Bez ingerencji użytkownika tablica colors wygląda tak:
  • #001199
  • #ffcc33
  • #c0c0c0
  • #33cc00
  • #cc0000
  • #006666
• Gradient - wykorzystywane są dwa kolory, ich wartości domyślne, to:
  • #fd9900 (blisko więźniów)
  • #009999 (daleko od więźniów)
  Jeśli $n$-ty wyraz ciągu spełnia nierówność $|z_n| \gt max(2,|c|)$, to obliczany jest wpierw współczynnik: $\text{wsp} = \sqrt{\frac{n}{\text{liczba_iteracji}}}$, a potem kolor:
  $\text{kolor} = \text{wsp}\cdot \text{blisko} + (1 - \text{wsp})\cdot \text{daleko}$

Powiększanie i pomniejszanie

Narysowany zbiór Julii można skalować, przyciski Powiększenie i Pomniejszenie przeskalowują aktualny (a nie oryginalny rysunek). Przykładowo, po sekwencji
Rysowanie ⇒ suwak na $2$ ⇒ Powiększenie ⇒ Powiększenie ⇒ suwak na $3$ ⇒ Pomniejszenie oryginalny rysunek jest powiększony w stosunku $\frac{4}{3} = \frac{2\cdot2}{3}$, a w polu Akt. powiększenie pojawia się liczba $1,33$. Jeżeli wypadkowy współczynnik skalowania jest większy niż $10$ (mniejszy niż $1$), to jest zmniejszany do $10$ (zwiększany do $1$).
Przycisk Rysowanie zawsze rysuje w rozmiarze podstawowym.
Powiększony rysunek widać tylko częściowo, można go przeciągać myszą.

Orbita

Po wybrani liczb $c,\,z_0$ można (przycisk Orbita) wyznaczyć orbitę liczby $z_0$: rysowane są punkty orbity, łączące je odcinki, a do listy rozwijanej Lista punktów dopisywane są współrzędne punktów orbity.